Surface Bundle

Surface bundle es un fibrado por superficie, es decir la fibra es una 2-variedad y sobre alguna base -en símbolos:

${\displaystyle F\subset E\to B}$

donde E el fibrado (o espacio total), F es la fibra (espacio fibra) y B la base del fibrado (espacio base del fibrado), siendo casos importantes:

1. Fibrar sobre el círculo ${\displaystyle S^{1}}$ y es por lo tanto un tipo de 3-variedad. Una castellanización de este nombre puede ser F-fibrado sobre B, o bien fibrado por superficies sobre B.
2. Fibrar sobre otra superficie. Es este caso reciben el nombre de surface bundle over a surface y son una clase de 4-variedades.

No son importantes los fibrados-por-superficie que tengan una base que sea contraíble desde el punto de vista homotópico, pues en este caso, el fibrado es trivial, es decir, homeomorfo a ${\displaystyle F\times B}$

Cuando la base es un círculo el espacio es un surface bundle over the circle. Estos fibrados están clasificados por clases de isotopía de auto-homeomorfismos; ${\displaystyle F{\stackrel {[f]}{\to }}F}$.

Construcción

Sea F una superficie cerrada. Si tenemos el producto cartesiano ${\displaystyle \scriptstyle F\times I}$, entonces vamos a utilizar un homeomorfismo ${\displaystyle \scriptstyle \phi \colon F\to F}$ para identificar las tapas ${\displaystyle \scriptstyle F\times \{0\}}$ con ${\displaystyle \scriptstyle F\times \{1\}}$ usando la fórmula

${\displaystyle (x,0)}$${\displaystyle \sim }$${\displaystyle (\phi (x),1)}$

así el nuevo espacio ${\displaystyle E_{\phi }={\frac {F\times I}{\sim }}}$ es el F-fibrado sobre ${\displaystyle S^{1}}$ determinado por ${\displaystyle \phi }$

Si ${\displaystyle \phi }$ es el mapa identidad de F, el fibrado es ${\displaystyle F\times S^{1}}$.

Cuando ${\displaystyle \phi }$ no está en la clase de isotopía de la identidad el fibrado ${\displaystyle E_{\phi }=F\times _{\phi }S^{1}}$ se dice twisted surface bundle.

Para la 2-esfera hay dos ${\displaystyle S^{2}\times S^{1}}$ y ${\displaystyle S^{2}{\stackrel {\sim }{\times }}S^{1}}$.

Se distingue entre fibrados que utilizan superficies cerradas (compactas y sin frontera) para obtener fibrados sin frontera. Además usando la clasificación de las superficies obtenemos

• ${\displaystyle O_{g}\subset E\to B}$
• ${\displaystyle N_{k}\subset E\to B}$

sobre alguna base B de dimensión uno.

Como los fibrados sobre la recta numérica ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$ (o intervalos conexos) son triviales (i.e. solo obtenemos ${\displaystyle E=F\times \mathbb {R} ^{1}}$), por eso hay más riqueza al estudiar fibrados sobre el círculo, ${\displaystyle S^{1}}$.